Terme, Variablen und Rechengesetze
Lehrplan – Zahlen und Operationen
In diesem Kapitel lernst du Terme mit Zahlen und Variablen kennen. Du erfährst, wie Buchstaben als Platzhalter für Zahlen verwendet werden und wie Terme aufgebaut sind.
Du wendest die Rechengesetze sicher an, zum Beispiel das Vertauschungs-, Verknüpfungs- und Verteilungsgesetz. Diese helfen dir, Terme übersichtlich umzuformen und zusammenzufassen.
Ein Schwerpunkt liegt auf dem strukturierten Vereinfachen von Termen. Du lernst, Rechenschritte sinnvoll zu ordnen und typische Fehler zu vermeiden.
Dieses Kapitel legt eine wichtige Grundlage für das algebraische Denken und bereitet dich auf weitere Inhalte wie Gleichungen und funktionale Zusammenhänge vor.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ich kann Terme mit Zahlen und Variablen lesen, schreiben und deuten.
- Ich weiß, wofür Variablen stehen, und kann sie sinnvoll einsetzen.
- Ich kann das Kommutativ, Assoziativ und Distributivgesetz sicher anwenden.
- Ich kann Terme durch geschicktes Umformen vereinfachen.
- Ich kann Rechenwege strukturieren und übersichtlich darstellen.
1. Terme mit Zahlen und Variablen
Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Rechenzeichen und auch Buchstaben bestehen kann. Diese Buchstaben nennt man Variablen und sie stehen für unbekannte oder veränderliche Zahlen.
Terme mit Variablen ermöglichen es, allgemeine Rechenregeln aufzuschreiben, ohne konkrete Zahlen einzusetzen. So lassen sich Zusammenhänge übersichtlich darstellen.
Das Arbeiten mit Termen ist eine wichtige Vorbereitung auf die Algebra in den folgenden Klassenstufen.
Beispiel: Der Term 3 · x + 5 beschreibt eine Rechnung mit einer unbekannten Zahl x.
Hinweis: Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen.
2. Rechengesetze sicher anwenden
Rechengesetze helfen dabei, Rechnungen zu vereinfachen und übersichtlicher zu gestalten. Dazu gehören das kommutative, assoziative und distributive Gesetz.
Mit diesen Gesetzen können Zahlen und Terme umgestellt oder zusammengefasst werden, ohne das Ergebnis zu verändern.
Das sichere Anwenden der Rechengesetze erleichtert das Rechnen mit Termen und Variablen.
Beispiel: 2 · (x + 3) = 2 · x + 6.
Hinweis: Nicht alle Rechenarten sind vertauschbar.
3. Terme vereinfachen und strukturieren
Terme lassen sich oft vereinfachen, indem gleiche Teile zusammengefasst oder Rechengesetze genutzt werden.
Durch geschicktes Strukturieren wird ein Term übersichtlicher und leichter weiterzuverarbeiten. Dabei helfen Klammern und eine klare Reihenfolge der Rechenschritte.
Vereinfachte Terme sind besonders wichtig für das spätere Lösen von Gleichungen.
Beispiel: x + x + 3 = 2x + 3.
Hinweis: Nur gleichartige Terme dürfen zusammengefasst werden.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Setze für x = 4 in den Term 2 · x + 3 ein und berechne den Wert des Terms.
Lösung: Ich ersetze die Variable x durch den gegebenen Wert 4:
2 · 4 + 3
= 8 + 3
= 11
Der Wert des Terms beträgt 11.
Beispiel 2
Vereinfache den Term 3 · (5 + 2).
Lösung: Zuerst berechne ich den Ausdruck in der Klammer:
5 + 2 = 7
Anschließend multipliziere ich:
3 · 7 = 21
Der vereinfachte Term hat den Wert 21.
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M6-K4-U1
Formuliere einen mathematischen Term zu folgender Beschreibung:
Eine Zahl wird verdoppelt und anschließend werden 5 addiert.
Lösung: Die unbekannte Zahl bezeichne ich mit x.
Das Verdoppeln der Zahl entspricht 2 · x.
Anschließend werden 5 addiert.
Der passende Term lautet:
2 · x + 5
Kompetenz: Terme mit Variablen darstellen
Diese Aufgabe fördert die Fähigkeit, sprachliche Beschreibungen in mathematische Terme zu übersetzen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Variablen als Platzhalter für Zahlen zu nutzen und Rechenhandlungen wie Verdoppeln oder Addieren korrekt in symbolischer Form darzustellen. Dies bildet eine zentrale Grundlage für das Arbeiten mit Termen und Gleichungen in Klasse 6.
Übung M6-K4-U2
Berechne den Wert des Terms 4 · x − 1, wenn x = 3 gilt.
Lösung: Ich setze den Wert x = 3 in den Term ein:
4 · 3 − 1
= 12 − 1
= 11
Der Wert des Terms beträgt 11.
Kompetenz: Terme mit Variablen auswerten
Diese Aufgabe stärkt das sichere Einsetzen konkreter Zahlen in Terme mit Variablen. Die Lernenden üben, Terme schrittweise auszuwerten und dabei die Rechenreihenfolge korrekt einzuhalten.
Übung M6-K4-U3
Wende das Kommutativgesetz an und schreibe den Term 7 + x um.
Lösung: Nach dem Kommutativgesetz der Addition dürfen die Summanden ihre Reihenfolge wechseln:
7 + x = x + 7
Kompetenz: Kommutativgesetz verstehen und anwenden
Diese Aufgabe fördert das Verständnis grundlegender Rechengesetze. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Reihenfolge der Summanden bei der Addition keinen Einfluss auf das Ergebnis hat und lernen, Terme flexibel umzuschreiben.
Übung M6-K4-U4
Wende das Assoziativgesetz an und schreibe den Term (2 + 5) + x um.
Lösung: Nach dem Assoziativgesetz dürfen die Summanden neu geklammert werden:
(2 + 5) + x = 2 + (5 + x)
Kompetenz: Assoziativgesetz anwenden
Diese Aufgabe vertieft das Verständnis dafür, dass bei der Addition mehrerer Summanden die Klammerung verändert werden kann, ohne den Wert des Terms zu verändern. Dies ist wichtig für das strukturierte Umformen von Termen.
Übung M6-K4-U5
Löse die Klammer im Term 4 · (x + 3) auf.
Lösung: Ich wende das Distributivgesetz an:
4 · (x + 3) = 4 · x + 4 · 3
= 4x + 12
Kompetenz: Distributivgesetz anwenden
Diese Aufgabe stärkt das Verständnis für das Distributivgesetz. Die Lernenden üben, eine Zahl oder Variable auf alle Summanden in einer Klammer zu verteilen und Klammern korrekt aufzulösen.
Übung M6-K4-U6
Vereinfache den Term 2x + 5x.
Lösung: Beide Terme enthalten die gleiche Variable x.
Ich addiere die Koeffizienten:
2x + 5x = 7x
Kompetenz: Gleichartige Terme zusammenfassen
Diese Aufgabe fördert das Erkennen und Zusammenfassen gleichartiger Terme. Die Schülerinnen und Schüler lernen, dass nur Terme mit derselben Variablenform zusammengefasst werden dürfen.
Übung M6-K4-U7
Vereinfache den Term 3 · (x + 2) + 4.
Lösung: Zuerst löse ich die Klammer auf:
3 · (x + 2) = 3x + 6
Dann fasse ich zusammen:
3x + 6 + 4 = 3x + 10
Kompetenz: Terme strukturieren und schrittweise vereinfachen
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, komplexere Terme systematisch zu bearbeiten. Die Lernenden üben, Klammern aufzulösen und anschließend Zahlen sinnvoll zusammenzufassen.
Übung M6-K4-U8
Vereinfache den Term 5 + 2 · x + 3.
Lösung: Zuerst fasse ich die Zahlen zusammen:
5 + 3 = 8
Der Term lautet anschließend:
2x + 8
Kompetenz: Punkt-vor-Strich-Regel bei Termen beachten
Diese Aufgabe fördert das sichere Anwenden der Rechenreihenfolge in Termen mit Variablen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass Multiplikationen vor Additionen ausgeführt werden müssen.
Übung M6-K4-U9
Setze für a = 2 in den Term 3a + a ein und berechne den Wert.
Lösung: Ich ersetze a durch 2:
3 · 2 + 2
= 6 + 2
= 8
Kompetenz: Terme mit Variablen sicher auswerten
Diese Aufgabe unterstützt das Einsetzen von Variablenwerten in Terme. Die Lernenden üben, Variablen konsequent zu ersetzen und den gesamten Term korrekt auszuwerten.
Übung M6-K4-U10
Fehleranalyse:
Ein Schüler rechnet:
2 · (x + 4) = 2x + 4
Erkläre den Fehler und gib die richtige Rechnung an.
Lösung: Der Fehler besteht darin, dass die 2 nur mit x, aber nicht mit der 4 multipliziert wurde.
Beim Distributivgesetz muss die Zahl auf alle Summanden in der Klammer angewendet werden.
Richtig ist:
2 · (x + 4) = 2 · x + 2 · 4 = 2x + 8
Kompetenz: Rechengesetze überprüfen, Fehler erkennen und begründen
Diese Aufgabe fördert das mathematische Argumentieren. Die Schülerinnen und Schüler lernen, typische Fehler beim Auflösen von Klammern zu erkennen, fachlich korrekt zu erklären und die richtige Vorgehensweise zu begründen.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Variablen werden wie Einheiten behandelt und falsch verrechnet.
- Rechengesetze werden falsch oder unvollständig angewendet.
- Klammern werden ignoriert.
- Gleichartige und ungleichartige Terme werden vermischt.
- Punkt und Strichrechnung wird nicht beachtet.