Daten, Diagramme und statistische Kennwerte
Lehrplan – Daten und Zufall
In diesem Kapitel lernst du, Daten systematisch zu erfassen, darzustellen und auszuwerten. Du wählst geeignete Diagrammarten aus und stellst Daten übersichtlich dar, um Informationen klar sichtbar zu machen.
Du bestimmst relative Häufigkeiten und lernst, was sie über Daten aussagen. Außerdem berechnest du das arithmetische Mittel und nutzt es, um typische Werte zu beschreiben und Vergleiche anzustellen.
Anhand konkreter Beispiele übst du, Daten sachgerecht zu interpretieren und aus Tabellen oder Diagrammen sinnvolle Aussagen abzuleiten. So entwickelst du ein grundlegendes Verständnis für statistische Auswertungen.
Dieses Kapitel hilft dir, Daten kritisch zu betrachten und mathematisch fundiert zu beurteilen, eine wichtige Fähigkeit für Schule und Alltag.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ich kann Daten systematisch erfassen und übersichtlich darstellen.
- Ich kann Säulen, Balken und Kreisdiagramme lesen, vergleichen und erstellen.
- Ich kann passende Diagrammarten für unterschiedliche Fragestellungen auswählen.
- Ich kann relative Häufigkeiten berechnen und deuten.
- Ich kann das arithmetische Mittel berechnen und interpretieren.
1. Daten erfassen, darstellen und auswerten
Daten entstehen durch Beobachten, Zählen oder Messen, zum Beispiel bei Umfragen oder Experimenten. Um sie nutzbar zu machen, werden sie systematisch erfasst und geordnet.
Durch geeignete Darstellungen wie Tabellen oder einfache Übersichten lassen sich Daten vergleichen und auswerten. Dabei werden Gemeinsamkeiten, Unterschiede oder Auffälligkeiten erkannt.
Das Auswerten von Daten hilft, sachliche Aussagen zu treffen und Ergebnisse zu begründen.
Beispiel: Die Ergebnisse einer Umfrage werden in einer Tabelle zusammengefasst und verglichen.
Hinweis: Daten müssen eindeutig und nach festen Kriterien erfasst werden.
2. Säulen, Balken und Kreisdiagramme
Diagramme stellen Daten anschaulich dar und erleichtern den Überblick. Säulen- und Balkendiagramme eignen sich besonders zum Vergleichen von Häufigkeiten.
Kreisdiagramme zeigen Anteile eines Ganzen und machen deutlich, wie sich eine Gesamtmenge auf verschiedene Teile verteilt.
Die Wahl des passenden Diagrammtyps ist wichtig, um Daten korrekt zu interpretieren.
Beispiel: Ein Kreisdiagramm zeigt die prozentuale Verteilung verschiedener Freizeitaktivitäten.
Hinweis: Beschriftungen, Skalen und Anteile müssen korrekt angegeben sein.
3. Relative Häufigkeit und arithmetisches Mittel
Die relative Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis im Verhältnis zur Gesamtzahl aller Beobachtungen auftritt. Sie wird häufig als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent angegeben.
Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt genannt, beschreibt einen typischen Wert einer Datenmenge. Es wird berechnet, indem man alle Werte addiert und durch deren Anzahl teilt.
Diese Kennwerte helfen, Datenmengen zusammenzufassen und zu vergleichen.
Beispiel: Werden bei 10 Würfen 4 mal eine Sechs gewürfelt, beträgt die relative Häufigkeit 4/10.
Der Durchschnitt aus 2, 4 und 6 ist 4.
Hinweis: Ein Durchschnittswert beschreibt nicht immer jeden einzelnen Wert der Datenmenge.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
In einer Umfrage wurden für drei verschiedene Optionen 8, 6 und 6 Stimmen gezählt.
Welche Option hat die meisten Stimmen erhalten?
Lösung: Ich vergleiche die drei gezählten Werte:
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- Option 1: 8 Stimmen
- Option 2: 6 Stimmen
- Option 3: 6 Stimmen
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Damit hat Option 1 die meisten Stimmen erhalten.
Beispiel 2
Berechne das arithmetische Mittel der Werte 4, 6 und 10.
Lösung: Zuerst addiere ich alle Werte:
4 + 6 + 10 = 20
Anschließend teile ich die Summe durch die Anzahl der Werte (3):
20 : 3 ≈ 6,67
Das arithmetische Mittel beträgt ungefähr 6,67.
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M6-K6-U1
In einer Klasse wurden die Lieblingsfarben gezählt:
Blau: 10, Rot: 6, Grün: 4.
Wie viele Schülerinnen und Schüler wurden insgesamt befragt?
Lösung: 10 + 6 + 4 = 20
Insgesamt wurden 20 Schülerinnen und Schüler befragt.
Kompetenz: Daten erfassen und zusammenfassen
Diese Aufgabe fördert das systematische Erfassen und Zusammenfassen von Daten. Die Schülerinnen und Schüler lernen, einzelne Häufigkeiten korrekt zu addieren, um die Gesamtanzahl der erhobenen Daten zu bestimmen. Dies ist eine grundlegende Fähigkeit für alle weiteren Auswertungen statistischer Daten.
Übung M6-K6-U2
Welche Diagrammart eignet sich besonders gut, um Anteile eines Ganzen darzustellen? Begründe kurz.
Lösung: Ein Kreisdiagramm eignet sich besonders gut, da es zeigt, wie groß die einzelnen Anteile im Verhältnis zum gesamten Kreis sind.
Kompetenz: Geeignete Diagrammarten auswählen
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, Diagrammarten situationsgerecht auszuwählen. Die Lernenden erkennen, dass unterschiedliche Diagramme unterschiedliche Informationen besonders gut darstellen und lernen, diese gezielt einzusetzen.
Übung M6-K6-U3
Bestimme die relative Häufigkeit von 9 von 30.
Lösung: 9/30 = 0,3 = 30 %
Kompetenz: Relative Häufigkeiten berechnen
Diese Aufgabe fördert das Berechnen relativer Häufigkeiten. Die Schülerinnen und Schüler üben, absolute Häufigkeiten in Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben umzuwandeln und diese sicher zu interpretieren.
Übung M6-K6-U4
Ein Balkendiagramm zeigt die Werte 3, 5, 2 und 6.
Wie groß ist die Summe aller dargestellten Werte?
Lösung: 3 + 5 + 2 + 6 = 16
Kompetenz: Diagramme auswerten
Diese Aufgabe stärkt das Auswerten von Diagrammen. Die Lernenden entnehmen Zahlen aus einer grafischen Darstellung und verarbeiten diese rechnerisch weiter.
Übung M6-K6-U5
Berechne die relative Häufigkeit in Prozent von 4 von 16.
Lösung: 4/16 = 1/4 = 25 %
Kompetenz: Relative Häufigkeiten als Prozent angeben
Diese Aufgabe vertieft das Verständnis für Prozentangaben. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Anteile sicher als Prozentsätze darzustellen und diese korrekt zu berechnen.
Übung M6-K6-U6
Berechne das arithmetische Mittel der Werte 2, 4, 6 und 8.
Lösung: 2 + 4 + 6 + 8 = 20
20 : 4 = 5
Kompetenz: Arithmetisches Mittel berechnen
Diese Aufgabe fördert das Berechnen des arithmetischen Mittels. Die Lernenden üben, mehrere Werte zusammenzufassen und durch deren Anzahl zu teilen, um einen Durchschnittswert zu bestimmen.
Übung M6-K6-U7
Die Temperaturen an fünf Tagen betragen:
3 °C, 5 °C, 6 °C, 4 °C und 2 °C.
Bestimme die durchschnittliche Temperatur.
Lösung: 3 + 5 + 6 + 4 + 2 = 20
20 : 5 = 4 °C
Kompetenz: Durchschnittswerte berechnen und interpretieren
Diese Aufgabe stärkt das Verständnis für Durchschnittswerte in realen Kontexten. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Messwerte zusammenzufassen und den Durchschnitt sinnvoll zu deuten.
Übung M6-K6-U8
Erkläre, warum ein Kreisdiagramm ungeeignet ist, um sehr kleine Unterschiede zwischen ähnlichen Werten darzustellen.
Lösung: Bei sehr ähnlichen Werten unterscheiden sich die Kreisstücke nur minimal. Diese kleinen Unterschiede sind optisch schwer zu erkennen, weshalb andere Diagrammarten (z. B. Säulen- oder Balkendiagramme) besser geeignet sind.
Kompetenz: Darstellungen kritisch bewerten
Diese Aufgabe fördert die kritische Auseinandersetzung mit Darstellungen. Die Lernenden reflektieren die Aussagekraft von Diagrammen und lernen, deren Grenzen zu erkennen.
Übung M6-K6-U9
Fehleranalyse:
Ein Schüler berechnet das arithmetische Mittel von 4 und 8 mit
(8 − 4) : 2 = 2.
Erkläre den Fehler und gib die richtige Rechnung an.
Lösung: Der Fehler besteht darin, dass subtrahiert wurde, obwohl beim arithmetischen Mittel addiert werden muss.
Richtig ist:
(4 + 8) : 2 = 6
Kompetenz: Rechenwege überprüfen und Fehler erkennen
Diese Aufgabe stärkt das mathematische Argumentieren. Die Schülerinnen und Schüler lernen, falsche Rechenwege zu identifizieren, zu begründen und korrekt zu verbessern.
Übung M6-K6-U10
In einer Klasse sind 24 Schülerinnen und Schüler, davon kommen 6 mit dem Fahrrad.
Gib die relative Häufigkeit als Bruch, Dezimalzahl und Prozent an.
Lösung: Bruch: 6/24 = 1/4
Dezimalzahl: 0,25
Prozent: 25 %
Kompetenz: Relative Häufigkeiten in verschiedenen Darstellungsformen angeben
Diese Aufgabe fördert das flexible Wechseln zwischen Bruch, Dezimal und Prozentdarstellung. Die Lernenden erkennen gleichwertige Darstellungen und können diese sicher anwenden.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Absolute und relative Häufigkeit werden verwechselt.
- Eine ungeeignete Diagrammart wird gewählt.
- Beim arithmetischen Mittel wird nicht durch die Anzahl der Werte geteilt.
- Einzelwerte werden fälschlich als Durchschnitt interpretiert.
- Ergebnisse werden ohne Prüfung übernommen.