Terme, Rechengesetze und Strukturen
Lehrplan – Zahlen und Operationen
In diesem Kapitel lernst du Terme als besondere Rechenausdrücke kennen. Du erfährst, wie Rechenaufgaben übersichtlich dargestellt werden und warum Terme helfen, Rechenwege klar zu strukturieren.
Du arbeitest mit grundlegenden Rechengesetzen, zum Beispiel dem Vertauschungs-, Verknüpfungs- und Verteilungsgesetz. Diese Gesetze helfen dir, Terme geschickt umzuformen, zu vereinfachen und zusammenzufassen.
Ein Schwerpunkt liegt darauf, Rechenwege sinnvoll zu ordnen und Zusammenhänge zu erkennen. So lernst du, Rechnungen übersichtlich aufzubauen und typische Fehler zu vermeiden.
Dieses Kapitel legt eine wichtige Grundlage für alle weiteren Themen im Mathematikunterricht des Gymnasiums, besonders für das sichere Arbeiten mit Termen und komplexeren Rechenaufgaben.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Terme als Rechenausdrücke verstehen und korrekt lesen
- Zwischen Term und Rechnung unterscheiden
- Die Rechengesetze (kommutativ, assoziativ, distributiv) sicher anwenden
- Terme sinnvoll umformen und zusammenfassen
- Rechenwege vergleichen und begründen
1. Terme als Rechenausdrücke verstehen
Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen und Rechenzeichen. Er beschreibt eine Rechnung, ohne dass sie sofort ausgerechnet werden muss.
Terme können einfach oder zusammengesetzt sein und auch Klammern enthalten. Sie helfen dabei, Rechenwege übersichtlich darzustellen.
Das Verstehen von Termen ist wichtig, um Rechenregeln richtig anzuwenden und spätere algebraische Inhalte vorzubereiten.
Beispiel: Der Ausdruck 4 + 3 · 5 ist ein Term.
Hinweis: Ein Term enthält kein Gleichheitszeichen.
2. Rechengesetze nutzen (kommutativ, assoziativ, distributiv)
Rechengesetze beschreiben, wie Rechnungen vereinfacht oder umgestellt werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.
Das kommutative Gesetz erlaubt das Vertauschen von Zahlen bei Addition und Multiplikation. Das assoziative Gesetz beschreibt das geschickte Zusammenfassen von Zahlen.
Das distributive Gesetz verbindet Addition und Multiplikation und hilft beim Zerlegen oder Zusammenfassen von Rechnungen.
Beispiel: 3 + 5 = 5 + 3 (kommutativ).
4 · (10 + 2) = 4 · 10 + 4 · 2 (distributiv).
Hinweis: Nicht alle Rechenarten sind vertauschbar.
3. Terme geschickt zusammenfassen
Terme lassen sich oft vereinfachen, indem man passende Zahlen oder Teilrechnungen zusammenfasst.
Dabei helfen Klammern und Rechengesetze, um den Rechenweg übersichtlicher und kürzer zu machen.
Das geschickte Zusammenfassen spart Rechenzeit und verringert die Fehlergefahr.
Beispiel: 25 + 75 + 100 kann zu (25 + 75) + 100 zusammengefasst werden.
Hinweis: Die Reihenfolge der Rechenarten muss immer beachtet werden.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Berechne den folgenden Term und beachte dabei die Regel Punkt vor Strich.
6 + 4 · 5
Lösung: Zuerst die Punktrechnung:
4 · 5 = 20
Beispiel 2
Berechne das folgende Produkt möglichst geschickt, ohne alle Zwischenschritte auszurechnen.
25 · 12
Lösung: 25 · 12 = 25 · (3 · 4) = (25 · 4) · 3 = 100 · 3 = 300
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M5-K3-U1
Berechne den folgenden Term unter Beachtung der Regel Punkt vor Strich.
8 + 6 · 3
Lösung: 6 · 3 = 18
8 + 18 = 26
Kompetenz: Terme unter Beachtung von Punkt vor Strich auswerten
Diese Aufgabe fördert das sichere Auswerten von Termen unter Beachtung der Rechenregel Punkt vor Strich. Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Verständnis für die feste Reihenfolge von Rechenoperationen und vermeiden typische Fehler bei gemischten Termen.
Übung M5-K3-U2
Berechne den folgenden Term und erkläre, welchen Einfluss die Klammer auf das Ergebnis hat.
(8 + 6) · 3
Lösung: 8 + 6 = 14
14 · 3 = 42
Kompetenz: Klammern in Termen richtig nutzen
Diese Aufgabe unterstützt das korrekte Nutzen von Klammern in mathematischen Termen. Die Lernenden erkennen, wie Klammern die Reihenfolge der Rechenoperationen verändern und welchen Einfluss sie auf das Ergebnis haben.
Übung M5-K3-U3
Ordne zu: Welches Rechengesetz wird in der folgenden Gleichung angewendet?
7 + 5 = 5 + 7
Lösung: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz).
Kompetenz: Rechengesetze erkennen und benennen
Diese Aufgabe fördert das Erkennen und Benennen grundlegender Rechengesetze. Die Schülerinnen und Schüler lernen, mathematische Gleichungen strukturiert zu analysieren und passende Gesetzmäßigkeiten zuzuordnen.
Übung M5-K3-U4
Berechne den folgenden Term geschickt, indem du ein Rechengesetz nutzt.
4 · (25 + 5)
Lösung: 4 · (25 + 5) = 4 · 25 + 4 · 5 = 100 + 20 = 120
Kompetenz: Distributivgesetz anwenden
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, das Distributivgesetz gezielt anzuwenden. Die Lernenden erkennen Zusammenhänge zwischen Termen mit und ohne Klammern und nutzen diese zur Vereinfachung von Rechnungen.
Übung M5-K3-U5
Vereinfache den folgenden Term, indem du ihn geeignet umformst.
10 · 7 + 10 · 3
Lösung: 10 · (7 + 3) = 10 · 10 = 100
Kompetenz: Distributivgesetz zur Vereinfachung nutzen
Diese Aufgabe vertieft das Anwenden des Distributivgesetzes zur geschickten Umformung von Termen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln flexible Rechenstrategien und reduzieren den Rechenaufwand systematisch.
Übung M5-K3-U6
Berechne den folgenden Term und beachte die Reihenfolge der Rechenoperationen.
(12 + 8) : 4
Lösung: 12 + 8 = 20
20 : 4 = 5
Kompetenz: Terme mit Klammern auswerten
Diese Aufgabe fördert das sichere Auswerten von Termen mit Klammern. Die Lernenden festigen ihr Verständnis für die richtige Reihenfolge der Rechenschritte bei geklammerten Ausdrücken.
Übung M5-K3-U7
Berechne den folgenden Term und vergleiche ihn gedanklich mit Aufgabe 6.
12 + 8 : 4
Lösung: 8 : 4 = 2
12 + 2 = 14
Kompetenz: Punkt vor Strich sicher anwenden
Diese Aufgabe stärkt die sichere Anwendung der Regel Punkt vor Strich in komplexeren Termen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Rechenoperationen korrekt zu priorisieren und Ergebnisse kritisch zu überprüfen.
Übung M5-K3-U8
Welches Rechengesetz wird in der folgenden Gleichung angewendet?
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Lösung: Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).
Kompetenz: Rechengesetze unterscheiden
Diese Aufgabe unterstützt das Unterscheiden verschiedener Rechengesetze. Die Lernenden erkennen Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Gesetzen und wenden sie situationsgerecht an.
Übung M5-K3-U9
Berechne das folgende Produkt möglichst geschickt, indem du den Term sinnvoll zerlegst.
50 · 18
Lösung: 50 · 18 = 50 · (2 · 9) = (50 · 2) · 9 = 100 · 9 = 900
Kompetenz: Terme geschickt umformen
Diese Aufgabe fördert das geschickte Umformen von Termen zur Vereinfachung von Rechnungen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln effiziente Strategien, um mathematische Ausdrücke übersichtlich zu gestalten.
Übung M5-K3-U10
Erkläre kurz und nachvollziehbar, warum die folgende Gleichung gilt.
6 · (4 + 5) = 6 · 4 + 6 · 5
Lösung: Weil beim Distributivgesetz die Zahl 6 auf beide Summanden verteilt wird.
Kompetenz: Rechenwege begründen und erklären
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, Rechenwege nachvollziehbar zu begründen und mathematische Zusammenhänge zu erklären. Die Lernenden lernen, ihre Überlegungen sprachlich klar und logisch darzustellen.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Punkt vor Strich nicht beachten
- Klammern ignorieren oder falsch auflösen
- Rechengesetze falsch benennen
- Terme mit Gleichungen verwechseln
- Unübersichtliche Rechenwege ohne Struktur