Mathematisch argumentieren und Probleme lösen
Lehrplan – Prozessbezogene Kompetenzen – durchgängig und abschließend
In diesem Kapitel lernst du, mathematische Lösungswege klar und verständlich darzustellen. Du erklärst, wie du vorgehst, und begründest deine Ergebnisse Schritt für Schritt.
Du vergleichst verschiedene Lösungsstrategien und erkennst, dass Aufgaben oft auf unterschiedliche Weise gelöst werden können. Dabei lernst du, Vor- und Nachteile einzelner Vorgehensweisen zu erkennen.
Ein weiterer Schwerpunkt liegt darauf, typische Fehler zu erkennen und zu vermeiden. Du überprüfst Ergebnisse kritisch und lernst, Rechnungen logisch nachzuvollziehen.
Dieses Kapitel bündelt wichtige prozessbezogene Kompetenzen und unterstützt dich dabei, mathematische Probleme strukturiert, reflektiert und selbstständig zu lösen, eine zentrale Fähigkeit für den weiteren Mathematikunterricht am Gymnasium.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Eigene Lösungswege klar und nachvollziehbar darstellen
- Rechenwege mündlich und schriftlich erklären
- Unterschiedliche Lösungsstrategien vergleichen und bewerten
- Typische Fehler erkennen, beschreiben und vermeiden
- Ergebnisse begründen und auf Plausibilität prüfen
1. Lösungswege darstellen und erklären
Beim Lösen mathematischer Aufgaben ist nicht nur das Ergebnis wichtig, sondern auch der Weg dorthin. Lösungswege darstellen bedeutet, Rechenschritte übersichtlich aufzuschreiben oder mit Worten zu erklären.
Durch das Erklären wird deutlich, wie man gedacht und gerechnet hat. Das hilft anderen, den Lösungsweg nachzuvollziehen, und stärkt das eigene Verständnis.
Das bewusste Darstellen von Lösungswegen ist eine wichtige Grundlage für das Arbeiten im Gymnasium.
Beispiel: Eine Rechnung wird Schritt für Schritt notiert und anschließend in eigenen Worten erklärt.
Hinweis: Ein Lösungsweg muss klar, logisch und vollständig sein.
2. Verschiedene Strategien vergleichen
Für viele mathematische Probleme gibt es mehr als einen Lösungsweg. Beim Vergleichen von Strategien wird untersucht, wie unterschiedlich man an eine Aufgabe herangehen kann.
Dabei zeigt sich, dass manche Wege schneller, andere übersichtlicher oder sicherer sind. Das Vergleichen fördert flexibles Denken.
So lernen Schülerinnen und Schüler, bewusst passende Strategien auszuwählen.
Beispiel: Eine Aufgabe wird einmal durch Zerlegen der Zahlen und einmal mit einer schriftlichen Rechnung gelöst.
Hinweis: Nicht jeder Rechenweg ist für jede Aufgabe gleich gut geeignet.
3. Typische Fehler erkennen und vermeiden
Beim Rechnen können typische Fehler auftreten, zum Beispiel durch falsche Rechenregeln, ungenaues Lesen oder Flüchtigkeitsfehler.
Das bewusste Erkennen solcher Fehler hilft, sie in Zukunft zu vermeiden. Dazu gehört auch das Überprüfen von Ergebnissen.
Wer aus Fehlern lernt, rechnet sicherer und selbstständiger.
Beispiel: Ein Ergebnis wird mit einer Umkehraufgabe kontrolliert.
Hinweis: Fehler sind Lernchancen, wenn man sie versteht und korrigiert.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Erkläre deinen Rechenweg für die Aufgabe 24 + 36 möglichst nachvollziehbar.
Lösung: Ich zerlege 36 in 30 und 6:
24 + 30 = 54
54 + 6 = 60
Beispiel 2
Zwei Schülerinnen berechnen 25 · 8 auf unterschiedliche Weise:
Weg A: 25 · 4 · 2
Weg B: 100 · 2
Vergleiche die beiden Rechenwege. Welcher Weg ist günstiger? Begründe kurz.
Lösung: Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis:
25 · 8 = 200.
Weg B ist günstiger, weil man zuerst 25 · 4 = 100 leicht berechnen kann und anschließend nur noch 100 · 2 rechnen muss.
Dadurch sind weniger Zwischenschritte nötig.
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M5-K8-U1
Berechne 48 + 27 und erkläre deinen Rechenweg nachvollziehbar.
Lösung: Ich zerlege 27 in 20 und 7:
27 = 20 + 7
48 + 20 = 68
68 + 7 = 75
Kompetenz: Lösungswege strukturiert darstellen
Diese Aufgabe fördert das strukturierte Darstellen von Rechenwegen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, ihre Überlegungen klar zu ordnen, Zwischenschritte verständlich aufzuschreiben und Rechenstrategien nachvollziehbar zu erklären.
Übung M5-K8-U2
Berechne 6 · 14 auf zwei verschiedene Arten.
Lösung: Weg 1 (Distributiv):
6 · (10 + 4) = 6 · 10 + 6 · 4 = 60 + 24 = 84
Weg 2 (Umformen):
(6 · 7) · 2 = 42 · 2 = 84
Kompetenz: Verschiedene Strategien anwenden
Diese Aufgabe unterstützt das Anwenden unterschiedlicher Rechenstrategien. Die Lernenden erkennen, dass es mehrere gültige Wege zum gleichen Ergebnis gibt, und üben, Terme sinnvoll umzuformen, um leichter rechnen zu können.
Übung M5-K8-U3
Ein Schüler rechnet: 3 + 4 · 5 = 35.
Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis an.
Lösung: Der Fehler: Die Regel Punkt vor Strich wurde nicht beachtet.
Zuerst wird multipliziert:
4 · 5 = 20
Dann addiert:
3 + 20 = 23
Kompetenz: Typische Fehler erkennen
Diese Aufgabe fördert das Erkennen und Erklären typischer Rechenfehler. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Ergebnisse kritisch zu überprüfen, Fehlerquellen zu benennen und Rechenregeln sicher anzuwenden.
Übung M5-K8-U4
Welche der beiden Rechnungen ist übersichtlicher? Begründe kurz.
(18 + 2) · 5 oder 18 · 5 + 2 · 5
Lösung: Beide Rechnungen ergeben 100.
(18 + 2) · 5 ist übersichtlicher, weil hier weniger Rechenschritte nötig sind
und man zuerst die einfache Summe in der Klammer bilden kann.
Kompetenz: Rechenwege vergleichen und bewerten
Diese Aufgabe stärkt das Vergleichen und Bewerten verschiedener Rechenwege. Die Lernenden üben, Rechenstrategien nach Übersichtlichkeit und Aufwand zu beurteilen und ihre Entscheidung begründet zu formulieren.
Übung M5-K8-U5
Schätze zuerst und rechne dann genau:
49 · 6
Lösung: Schätzung : 50 · 6 = 300
Genau : 49 · 6 = 294
Kompetenz: Ergebnisse auf Plausibilität prüfen
Diese Aufgabe fördert das Abschätzen von Ergebnissen und das Prüfen auf Plausibilität. Die Schülerinnen und Schüler lernen, mit Überschlägen zu kontrollieren, ob ein Ergebnis realistisch ist, und gewinnen Sicherheit beim Rechnen.
Übung M5-K8-U6
Ein Ergebnis lautet 125.
Gib eine passende Rechnung an und erkläre deinen Rechenweg.
Lösung: Zum Beispiel: 25 · 5 = 125.
Ich kann 25 · 5 als „5-mal 25“ verstehen.
Außerdem kann ich umformen:
25 · 5 = 25 · (10 : 2) = (25 · 10) : 2 = 250 : 2 = 125.
Kompetenz: Ergebnisse begründen
Diese Aufgabe unterstützt das Begründen von Ergebnissen. Die Lernenden üben, passende Rechnungen zu finden und ihren Rechenweg verständlich zu erklären, indem sie Zusammenhänge und Umformungen nutzen.
Übung M5-K8-U7
Überprüfe die Rechnung:
600 g + 1,2 kg = 1,8 kg
Lösung: Ich wandle zuerst 600 g in Kilogramm um:
600 g = 0,6 kg
Dann rechne ich:
0,6 kg + 1,2 kg = 1,8 kg
Die Rechnung ist korrekt.
Kompetenz: Rechenwege kritisch prüfen
Diese Aufgabe fördert das kritische Prüfen von Rechnungen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Einheiten korrekt umzuwandeln, Ergebnisse zu kontrollieren und zu begründen, ob eine Aussage stimmt.
Übung M5-K8-U8
Erkläre, warum 8 · 25 = 200 gilt.
Lösung: Ich nutze eine günstige Zerlegung:
25 · 4 = 100
Dann gilt:
25 · 8 = 25 · (4 · 2) = (25 · 4) · 2 = 100 · 2 = 200
Kompetenz: Mathematisch argumentieren
Diese Aufgabe stärkt das mathematische Argumentieren. Die Lernenden üben, Rechenzusammenhänge verständlich zu erklären und Rechengesetze gezielt zu nutzen, um Aussagen zu begründen.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Rechenwege nicht nachvollziehbar aufschreiben
- Punkt vor Strich Regel missachten
- Einheiten beim Rechnen vergessen
- Ergebnisse nicht überprüfen
- Unterschiedliche Strategien nicht vergleichen