Argumentieren, Modellieren und Probleme lösen
Lehrplan – Prozessbezogene Kompetenzen – durchgängig und abschließend
In diesem Kapitel entwickelst du wichtige prozessbezogene Kompetenzen weiter. Du lernst, Lösungswege klar darzustellen, Ergebnisse zu begründen und Rechenwege nachvollziehbar zu erklären.
Du modellierst Sachsituationen mathematisch, indem du reale Probleme in passende Rechen- oder Darstellungsmethoden überführst. Dabei wählst du geeignete Strategien und überprüfst deine Ergebnisse sorgfältig.
Ein weiterer Schwerpunkt liegt darauf, typische Fehler zu erkennen, zu analysieren und zu vermeiden. So lernst du, mathematische Probleme reflektiert und strukturiert zu lösen.
Dieses Kapitel unterstützt dich dabei, Mathematik nicht nur anzuwenden, sondern bewusst zu durchdenken, eine zentrale Fähigkeit für den weiteren Mathematikunterricht am Gymnasium.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ich kann meine Lösungswege nachvollziehbar darstellen und begründen.
- Ich kann Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen.
- Ich kann geeignete Strategien zur Problemlösung auswählen und anwenden.
- Ich kann Ergebnisse auf Plausibilität prüfen und begründen.
- Ich kann typische Fehler erkennen, erklären und vermeiden.
1. Lösungswege darstellen und begründen
Beim Lösen mathematischer Aufgaben ist nicht nur das Ergebnis entscheidend, sondern auch der Weg dorthin. Lösungswege werden übersichtlich notiert und Schritt für Schritt erklärt.
Das Begründen bedeutet, zu erläutern, warum bestimmte Rechenschritte sinnvoll sind. So wird deutlich, dass die Aufgabe verstanden wurde.
Durch das Darstellen und Begründen von Lösungswegen wird mathematisches Denken klarer und nachvollziehbarer.
Beispiel: Eine Rechnung wird schriftlich dargestellt und anschließend mit Worten erklärt.
Hinweis: Ein Lösungsweg muss logisch aufgebaut und für andere verständlich sein.
2. Sachsituationen mathematisch modellieren
Beim Modellieren werden reale Situationen in mathematische Darstellungen übersetzt. Dazu gehören Skizzen, Tabellen, Terme oder Gleichungen.
Zuerst wird die Sachsituation verstanden und vereinfacht. Danach wird ein passendes mathematisches Modell gewählt, um die Aufgabe zu lösen.
Das Modellieren verbindet Mathematik mit Alltagssituationen und fördert problemlösendes Denken.
Beispiel: Eine Alltagssituation wird als Rechnung oder Tabelle dargestellt.
Hinweis: Nicht alle Details einer Sachsituation sind für das mathematische Modell notwendig.
3. Typische Fehler analysieren und vermeiden
Beim Rechnen und Problemlösen treten häufig typische Fehler auf, zum Beispiel durch falsche Rechenregeln, ungenaues Lesen oder fehlerhafte Darstellungen.
Das Analysieren von Fehlern bedeutet, den Rechenweg zu überprüfen und zu erkennen, wo der Fehler entstanden ist.
Wer Fehler versteht, kann sie in Zukunft vermeiden und sicherer rechnen.
Beispiel: Ein falsches Ergebnis wird überprüft und der fehlerhafte Rechenschritt erkannt.
Hinweis: Fehler sind Lernchancen, wenn man sie bewusst auswertet.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Ein Schüler rechnet:
2 + 3 · 4 = 20
Begründe nachvollziehbar, warum dieses Ergebnis falsch ist, und gib das richtige Ergebnis an.
Lösung: Der Fehler besteht darin, dass die Punkt-vor-Strich-Regel nicht beachtet wurde.
Nach dieser Regel werden Multiplikationen vor Additionen ausgeführt.
Zuerst wird gerechnet:
3 · 4 = 12
Danach wird addiert:
2 + 12 = 14
Das Ergebnis 20 ist daher falsch.
Das richtige Ergebnis lautet 14.
Beispiel 2
Ein Heft kostet 2,50 €.
Wie viel kosten 4 Hefte?
Stelle deinen Lösungsweg übersichtlich dar.
Lösung: Ich wähle ein einfaches Rechenmodell:
Preis · Anzahl
2,50 € · 4 = 10,00 €
Vier Hefte kosten 10 €.
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M6-K8-U1
Erkläre schriftlich, warum der Bruch 1/2 größer ist als 1/3.
Lösung: Beide Brüche haben den gleichen Zähler 1.
Bei gleichem Zähler gilt:
Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist größer, da das Ganze in weniger Teile zerlegt wird.
Da 2 < 3 gilt, folgt:
1/2 > 1/3
Kompetenz: Mathematische Aussagen begründen
Diese Aufgabe fördert das begründete Argumentieren mit mathematischen Aussagen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Vergleiche nicht nur rechnerisch, sondern auch inhaltlich und sprachlich korrekt zu erklären. Ordnungskriterien beim Vergleichen verschiedener Zahlen.
Übung M6-K8-U2
Stelle den Lösungsweg für den Term 18 : (3 · 2) übersichtlich und schrittweise dar.
Lösung: Zuerst berechne ich den Ausdruck in der Klammer:
3 · 2 = 6
Danach teile ich:
18 : 6 = 3
Kompetenz: Lösungswege strukturiert darstellen
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, Rechenwege klar zu strukturieren. Die Lernenden üben, Klammern korrekt zu beachten und Rechenschritte verständlich darzustellen.
Übung M6-K8-U3
Ein Bus fährt 120 km in 2 Stunden.
Wie weit fährt er in 1 Stunde?
Stelle die Situation mathematisch dar.
Lösung: Ich formuliere ein Modell:
Strecke : Zeit
120 km : 2 = 60 km
In 1 Stunde fährt der Bus 60 km.
Kompetenz: Sachsituationen mathematisch modellieren
Diese Aufgabe fördert das Übersetzen von Alltagssituationen in mathematische Modelle. Die Schülerinnen und Schüler lernen, relevante Größen zu erkennen und passende Rechenoperationen auszuwählen.
Übung M6-K8-U4
Ein Pullover kostet 40 €.
Er wird um 20 % reduziert.
Berechne den neuen Preis.
Lösung: Zuerst berechne ich den Rabatt:
20 % von 40 € = 0,20 · 40 = 8 €
Dann ziehe ich den Rabatt vom ursprünglichen Preis ab:
40 € − 8 € = 32 €
Der neue Preis beträgt 32 €.
Kompetenz: Prozentrechnung in Sachsituationen anwenden
Diese Aufgabe stärkt das Anwenden der Prozentrechnung in realistischen Kontexten. Die Lernenden üben, mehrschrittige Rechnungen sinnvoll aufzubauen und Ergebnisse korrekt zu interpretieren.
Übung M6-K8-U5
Welche Strategie würdest du wählen, um eine unübersichtliche Textaufgabe zu lösen?
Begründe deine Entscheidung kurz.
Lösung: Zum Beispiel kann man die Aufgabe in Teilschritte zerlegen, wichtige Informationen markieren oder eine Skizze anfertigen. Dadurch wird die Aufgabe übersichtlicher und leichter lösbar.
Kompetenz: Geeignete Problemlösestrategien auswählen
Diese Aufgabe fördert das bewusste Reflektieren über Lösungsstrategien. Die Schülerinnen und Schüler lernen, unterschiedliche Vorgehensweisen zu kennen und situationsgerecht auszuwählen.
Übung M6-K8-U6
Schätze zunächst das Ergebnis von 49 · 18 und überprüfe anschließend rechnerisch.
Lösung: Schätzung:
49 ≈ 50 und 18 ≈ 20
50 · 20 = 1000
Exakte Rechnung:
49 · 18 = 882
Das Ergebnis liegt nahe bei der Schätzung, die Rechnung ist plausibel.
Kompetenz: Ergebnisse schätzen und auf Plausibilität prüfen
Diese Aufgabe stärkt das Abschätzen von Ergebnissen und das kritische Überprüfen von Rechnungen. Die Lernenden erkennen, dass Schätzungen helfen, Rechenfehler zu vermeiden.
Übung M6-K8-U7
Fehleranalyse:
Ein Schüler rechnet:
6 − (2 + 5) = 9
Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis an.
Lösung: Der Fehler besteht darin, dass die Klammer nicht beachtet wurde.
Zuerst muss gerechnet werden:
2 + 5 = 7
Danach:
6 − 7 = −1
Das richtige Ergebnis ist −1.
Kompetenz: Fehler erkennen, erklären und korrigieren
Diese Aufgabe fördert das analytische Denken. Die Schülerinnen und Schüler lernen, fehlerhafte Rechenwege zu erkennen, zu erklären und korrekt zu berichtigen.
Übung M6-K8-U8
Beschreibe in eigenen Worten, wie du bei einer schwierigen Aufgabe vorgehst.
Lösung: Ich lese die Aufgabe sorgfältig, markiere wichtige Informationen, überlege mir einen Rechenplan und überprüfe am Ende, ob das Ergebnis sinnvoll ist.
Kompetenz: Lösungsstrategien reflektieren
Diese Aufgabe stärkt die Reflexionsfähigkeit. Die Lernenden setzen sich bewusst mit ihrem eigenen Vorgehen auseinander und entwickeln strukturierte Problemlösestrategien.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Lösungswege werden nicht erklärt, nur Ergebnisse angegeben.
- Rechenregeln werden ohne Begründung angewendet.
- Sachsituationen werden unvollständig modelliert.
- Klammern und Rechenreihenfolge werden missachtet.
- Fehler werden nicht überprüft oder reflektiert.