Sicher rechnen mit natürlichen Zahlen
Lehrplan – Zahlen und Operationen
In diesem Kapitel rechnest du mit Zahlen bis zur Million. Du festigst die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division und wendest sie sicher an.
Du lernst geeignete Rechenstrategien, zum Beispiel schriftliches Rechnen, Überschlagen oder das Zerlegen von Zahlen. So kannst du Aufgaben schneller und genauer lösen.
Außerdem lernst du, deine Ergebnisse zu überprüfen. Du schätzt, rechnest gegen oder nutzt Umkehraufgaben, um sicherzugehen, dass dein Ergebnis stimmt.
Viele Übungen und Beispiele helfen dir dabei, auch mit großen Zahlen sicher zu rechnen und Vertrauen in deine Rechenfähigkeiten zu entwickeln.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ich kann Zahlen bis zur Million addieren und subtrahieren.
- Ich nutze Kopfrechnen und halbschriftliche Rechenverfahren sicher.
- Ich kann schriftlich addieren und subtrahieren.
- Ich multipliziere Zahlen mit ein und zweistelligen Faktoren.
- Ich kann schriftlich dividieren und mit Rest rechnen.
- Ich erkenne den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division.
1. Schriftliche Addition und Subtraktion
Bei der schriftlichen Addition und Subtraktion werden größere Zahlen übersichtlich untereinander geschrieben. Dabei stehen Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern und so weiter.
Die Rechnung beginnt immer bei den Einern und führt Stelle für Stelle nach links. Dabei kann es notwendig sein, einen Übertrag zu notieren oder sich bei der Subtraktion etwas auszuleihen.
Diese Rechenverfahren helfen, auch mit großen Zahlen sicher und genau zu rechnen.
Beispiel: Bei 4 386 + 2 759 werden zuerst die Einer, dann die Zehner, Hunderter und Tausender gerechnet.
Hinweis: Falsch untereinandergeschriebene Stellen führen schnell zu Rechenfehlern.
2. Schriftliche Multiplikation
Bei der schriftlichen Multiplikation wird eine Zahl mit einer mehrstelligen Zahl multipliziert. Die Rechnung erfolgt schrittweise nach Stellenwerten.
Zuerst wird mit den Einern, dann mit den Zehnern oder Hundertern gerechnet. Die Teilergebnisse werden richtig verschoben und anschließend addiert.
Dieses Verfahren ermöglicht das sichere Rechnen mit größeren Malaufgaben.
Beispiel: Bei 234 · 3 wird zuerst 3 · 4, dann 3 · 30 und zuletzt 3 · 200 gerechnet.
Hinweis: Die Teilergebnisse müssen an der richtigen Stelle notiert werden.
3. Schriftliche Division
Bei der schriftlichen Division wird eine größere Zahl Schritt für Schritt durch eine kleinere Zahl geteilt. Dabei wird von links nach rechts gerechnet.
Man prüft, wie oft der Teiler in einen Teil der Zahl passt, notiert das Ergebnis und rechnet weiter. So entsteht nach und nach das vollständige Ergebnis.
Dieses Verfahren hilft, auch schwierige Geteiltaufgaben sicher zu lösen.
Beispiel: Bei 672 : 6 wird geprüft, wie oft 6 in 6, dann in 67 und schließlich in 672 passt.
Hinweis: Jeder Rechenschritt muss sorgfältig überprüft werden.
4. Rechenstrategien, Überschlagen und Kontrollieren
Rechenstrategien helfen, Aufgaben schneller und sicherer zu lösen. Dazu gehören das Zerlegen von Zahlen oder das Nutzen einfacher Teilaufgaben.
Beim Überschlagen werden Zahlen gerundet, um ein ungefähres Ergebnis zu erhalten. So kann man einschätzen, ob ein Rechenergebnis sinnvoll ist.
Das Kontrollieren der Rechnung, zum Beispiel durch eine Umkehraufgabe, erhöht die Rechensicherheit.
Beispiel: 498 + 203 kann überschlagen werden zu etwa 500 + 200 = 700
Hinweis: Überschlagen liefert nur Näherungswerte, keine exakten Ergebnisse.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Berechne die Summe der beiden Zahlen:
458 300 + 126 700
Lösung:
Ich zerlege die Zahlen in übersichtliche Teile:
458 300 + 126 700
= (458 000 + 126 000) + (300 + 700)
= 584 000 + 1 000
= 585 000
Antwort:
458 300 + 126 700 = 585 000
Beispiel 2
Berechne die Division:
96 000 : 4
Lösung:
Ich nutze mein Wissen über das Teilen großer Zahlen:
96 000 : 4
= (96 : 4) · 1 000
= 24 · 1 000
= 24 000
Antwort:
96 000 : 4 = 24 000
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M4-K2-U1
Berechne im Kopf oder halbschriftlich:
320 000 + 180 000
Lösung:
Ich addiere zunächst die Hunderttausender:
320 000 + 180 000
= (300 000 + 100 000) + (20 000 + 80 000)
= 400 000 + 100 000
= 500 000
Kompetenz: Addieren im Zahlenraum bis zur Million
Diese Aufgabe fördert das sichere Addieren großer Zahlen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Zahlen sinnvoll zu zerlegen und stellenwertgerecht zusammenzusetzen, ohne auf schriftliche Verfahren angewiesen zu sein.
Übung M4-K2-U2
Berechne schriftlich:
704 532 − 268 419
Lösung:
Ich subtrahiere stellenweise von rechts nach links:
704 532
− 268 419
────────
= 436 113
Dabei beachte ich das Ausleihen bei den Stellen, an denen die obere Ziffer kleiner ist als die untere.
Kompetenz: Schriftliche Subtraktion sicher anwenden
Diese Aufgabe stärkt das sichere Beherrschen der schriftlichen Subtraktion mit großen Zahlen und das korrekte Arbeiten mit Überträgen.
Übung M4-K2-U3
Überschlage zunächst auf Hunderttausender und berechne anschließend genau:
399 800 + 201 250
Lösung:
Überschlag:
399 800 ≈ 400 000
201 250 ≈ 200 000
400 000 + 200 000 = 600 000
Genau gerechnet:
399 800 + 201 250 = 601 050
Der genaue Wert liegt nahe am Überschlag, das Ergebnis ist also plausibel.
Kompetenz: Rechenstrategien anwenden und Ergebnisse überprüfen
Die Schülerinnen und Schüler lernen, Überschläge gezielt zur Kontrolle von Rechenergebnissen einzusetzen und ihre Rechnungen kritisch zu überprüfen.
Übung M4-K2-U4
Berechne:
4 · 125 000
Lösung:
4 · 125 000
= (4 · 125) · 1 000
= 500 · 1 000
= 500 000
Kompetenz: Multiplikation großer Zahlen mit einstelligem Faktor
Diese Aufgabe fördert das sichere Multiplizieren großer Zahlen durch Zerlegen und Nutzen des Stellenwertsystems.
Übung M4-K2-U5
Berechne halbschriftlich oder schriftlich:
36 · 2 000
Lösung:
36 · 2 000
= 36 · 2 · 1 000
= 72 · 1 000
= 72 000
Kompetenz: Stellenwertgerechtes Multiplizieren
Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Verständnis dafür, wie Nullen beim Multiplizieren großer Zahlen entstehen und korrekt berücksichtigt werden.
Übung M4-K2-U6
Berechne schriftlich:
48 · 1 200
Lösung:
48 · 1 200
= 48 · 12 · 100
= 576 · 100
= 57 600
Kompetenz: Schriftliche Multiplikation mit mehrstelligen Zahlen
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, mehrstellige Zahlen sicher schriftlich zu multiplizieren.
Übung M4-K2-U7
Berechne die Division:
84 000 : 7
Lösung:
84 000 : 7
= (84 : 7) · 1 000
= 12 · 1 000
= 12 000
Kompetenz: Division großer Zahlen ohne Rest
Die Schülerinnen und Schüler lernen, große Zahlen sicher zu teilen, indem sie bekannte Grundaufgaben nutzen.
Übung M4-K2-U8
Berechne schriftlich:
965 : 4
Lösung:
4 passt 241 mal in 965.
241 · 4 = 964
Rest: 965 − 964 = 1
Ergebnis:
965 : 4 = 241 Rest 1
Kompetenz: Division mit Rest verstehen und anwenden
Diese Aufgabe fördert das Verständnis dafür, dass Divisionen nicht immer ohne Rest aufgehen.
Übung M4-K2-U9
Berechne:
6 · 7 000
Kontrolliere dein Ergebnis mit der passenden Umkehraufgabe.
Lösung:
6 · 7 000 = 42 000
Kontrolle:
42 000 : 6 = 7 000
Die Rechnung ist korrekt.
Kompetenz: Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division nutzen
Die Schülerinnen und Schüler erkennen Multiplikation und Division als Umkehraufgaben und nutzen diese Beziehung zur Kontrolle.
Übung M4-K2-U10
Berechne und überprüfe:
540 000 − 360 000
Lösung:
540 000 − 360 000 = 180 000
Kontrolle:
180 000 + 360 000 = 540 000
Das Ergebnis stimmt.
Kompetenz: Subtraktion durch Umkehraufgaben überprüfen
Diese Aufgabe stärkt das sichere Kontrollieren von Rechenergebnissen und fördert mathematisches Denken.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Stellen werden bei schriftlichen Verfahren nicht richtig untereinander geschrieben.
- Überträge werden vergessen oder falsch eingesetzt.
- Beim Multiplizieren wird der Stellenwert nicht beachtet.
- Reste bei der Division werden nicht korrekt angegeben.
- Die Kontrolle durch Umkehraufgaben wird ausgelassen.