Rechnen mit Brüchen
Lehrplan – Zahlen und Operationen
In diesem Kapitel lernst du, sicher mit Brüchen zu rechnen. Du wiederholst und vertiefst das Kürzen und Erweitern, um gleichwertige Brüche zu erkennen und gezielt umzuformen.
Darauf aufbauend rechnest du mit Brüchen in allen vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Du lernst, Rechenwege systematisch aufzubauen und typische Fehler zu vermeiden.
Ein Schwerpunkt liegt darauf, Brüche sinnvoll umzuwandeln, damit Rechnungen übersichtlich und lösbar werden. So entwickelst du Strategien, um auch anspruchsvollere Aufgaben sicher zu bearbeiten.
Dieses Kapitel schafft eine wichtige Grundlage für alle weiteren Rechnungen mit rationalen Zahlen und unterstützt dich dabei, sicher und strukturiert zu rechnen.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ich kann Brüche kürzen und erweitern, ohne ihren Wert zu verändern.
- Ich kann gleichnamige und ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren.
- Ich kann Brüche sicher multiplizieren und dividieren.
- Ich kann geeignete Rechenstrategien auswählen und anwenden.
- Ich kann Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.
1. Brüche kürzen und erweitern
Brüche können in unterschiedliche Schreibweisen gebracht werden, ohne ihren Wert zu verändern. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt.
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Dadurch entstehen gleichwertige Brüche.
Kürzen und Erweitern helfen, Brüche übersichtlich darzustellen und für weitere Rechnungen vorzubereiten.
Beispiel: 4/8 gekürzt ergibt 1/2
1/3 erweitert mit 2 ergibt 2/6
Hinweis: Zähler und Nenner müssen immer mit derselben Zahl gekürzt oder erweitert werden.
2. Addition und Subtraktion von Brüchen
Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen die Brüche gleichnamig sein, also den gleichen Nenner haben.
Sind die Nenner verschieden, werden die Brüche zuerst erweitert, bis sie den gleichen Nenner besitzen. Danach können die Zähler addiert oder subtrahiert werden.
Dieses Vorgehen sorgt dafür, dass Brüche korrekt miteinander verrechnet werden.
Beispiel: 1/4 + 2/4 = 3/4
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Hinweis: Nur die Zähler werden addiert oder subtrahiert, der Nenner bleibt gleich.
3. Multiplikation und Division von Brüchen
Bei der Multiplikation von Brüchen werden die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert.
Bei der Division durch einen Bruch wird mit dem Kehrwert dieses Bruchs multipliziert. So lässt sich jede Division als Multiplikation schreiben.
Diese Rechenarten erweitern die Möglichkeiten, Brüche in verschiedenen Situationen einzusetzen.
Beispiel: 2/3 · 4/5 = 8/15
3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 6/4
Hinweis: Beim Teilen durch einen Bruch wird immer mit dem Kehrwert multipliziert.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Kürze den Bruch 12/18 vollständig.
Lösung: Ein gemeinsamer Teiler von 12 und 18 ist 6.
12/18 = (12 : 6) / (18 : 6)
= 2/3
Beispiel 2
Berechne das Produkt der Brüche 2/3 · 3/5.
Lösung: 2/3 · 3/5 = (2 · 3) / (3 · 5)
Der Faktor 3 kürzt sich im Zähler und Nenner.
Es bleibt:
= 2/5
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M6-K2-U1
Kürze die folgenden Brüche vollständig.
a) 9/12
b) 15/20
Lösung: a) 9/12 = 3/4
b) 15/20 = 3/4
Kompetenz: Brüche kürzen
Diese Aufgabe fördert das sichere Kürzen von Brüchen mithilfe gemeinsamer Teiler. Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Verständnis dafür, dass Zähler und Nenner durch denselben Faktor geteilt werden können, ohne den Wert des Bruchs zu verändern. Dies ist eine grundlegende Fähigkeit für alle weiteren Rechenoperationen mit Brüchen in Klasse 6.
Übung M6-K2-U2
Erweitere den Bruch 2/7 auf den Nenner 28.
Lösung: 7 · 4 = 28
2/7 = (2 · 4)/(7 · 4) = 8/28
Kompetenz: Brüche erweitern
Diese Aufgabe unterstützt das gezielte Erweitern von Brüchen. Die Lernenden erkennen, dass durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor gleichwertige Brüche entstehen. Diese Fähigkeit ist besonders wichtig für das spätere Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche.
Übung M6-K2-U3
Berechne die Summe der Brüche.
4/9 + 2/9
Lösung: Die Brüche sind gleichnamig.
(4 + 2)/9 = 6/9 = 2/3
Kompetenz: Gleichnamige Brüche addieren
Diese Aufgabe fördert das sichere Addieren gleichnamiger Brüche. Die Schülerinnen und Schüler lernen, dass bei gleichen Nennern nur die Zähler addiert werden, während der Nenner unverändert bleibt.
Übung M6-K2-U4
Berechne die Summe der Brüche.
1/3 + 1/4
Lösung: Gemeinsamer Nenner: 12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
Summe: 4/12 + 3/12 = 7/12
Kompetenz: Ungleichnamige Brüche addieren
Diese Aufgabe stärkt das Addieren ungleichnamiger Brüche. Die Lernenden üben, einen gemeinsamen Nenner zu finden, Brüche entsprechend zu erweitern und anschließend korrekt zu addieren.
Übung M6-K2-U5
Berechne die Differenz.
5/6 − 1/3
Lösung: Gemeinsamer Nenner: 12
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
Summe: 4/12 + 3/12 = 7/12
Kompetenz: Brüche subtrahieren
Diese Aufgabe fördert das Subtrahieren von Brüchen. Die Schülerinnen und Schüler wenden bekannte Strategien wie das Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner an und vertiefen ihr Verständnis für Differenzen von Brüchen.
Übung M6-K2-U6
Multipliziere die Brüche.
3/4 · 2/5
Lösung: 3/4 · 2/5 = 6/20 = 3/10
Kompetenz:Brüche multiplizieren
Diese Aufgabe unterstützt das Multiplizieren von Brüchen. Die Lernenden lernen, Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren und das Ergebnis gegebenenfalls zu kürzen.
Übung M6-K2-U7
Berechne den Term.
2/3 : 4
Lösung: 4 = 4/1
2/3 : 4/1 = 2/3 · 1/4 = 2/12 = 1/6
Kompetenz: Brüche durch natürliche Zahlen dividieren
Diese Aufgabe fördert das Dividieren von Brüchen durch natürliche Zahlen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Division durch eine natürliche Zahl der Multiplikation mit ihrem Kehrwert entspricht.
Übung M6-K2-U8
Berechne den Quotienten.
3/5 : 2/3
Lösung: Kehrwert bilden:
3/5 · 3/2 = 9/10
Kompetenz: Brüche dividieren
Diese Aufgabe stärkt das Dividieren von Brüchen. Die Lernenden üben, den Kehrwert korrekt zu bilden und die Division als Multiplikation umzusetzen.
Übung M6-K2-U9
Ein Kuchen wird in 12 gleich große Stücke geteilt.
Lisa isst 1/3 des Kuchens.
Wie viele Stücke isst sie?
Lösung: 1/3 von 12 = 12 · 1/3 = 12 : 3 = 4
Lisa isst 4 Stücke.
Kompetenz: Brüche in Sachsituationen anwenden
Diese Aufgabe fördert das Anwenden von Brüchen in alltagsnahen Sachsituationen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Brüche mit natürlichen Zahlen zu verknüpfen und Ergebnisse sinnvoll zu interpretieren.
Übung M6-K2-U10
Fehleranalyse:
Ein Schüler rechnet:
1/2 + 1/2 = 2/4
Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis an.
Lösung: Der Fehler: Beim Addieren gleichnamiger Brüche dürfen die Nenner nicht verändert werden.
Richtig ist:
1/2 + 1/2 = 2/2 = 1
Kompetenz: Rechenregeln erklären und Fehler begründen
Diese Aufgabe stärkt das mathematische Argumentieren. Die Lernenden üben, typische Fehler bei der Bruchrechnung zu erkennen, korrekt zu erklären und Rechenregeln verständlich zu begründen.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Zähler und Nenner werden unterschiedlich gekürzt oder erweitert.
- Bei ungleichnamigen Brüchen wird kein gemeinsamer Nenner gebildet.
- Beim Multiplizieren wird nicht gekürzt, obwohl es möglich wäre.
- Beim Dividieren wird der Kehrwert nicht gebildet.
- Ergebnisse werden nicht vollständig gekürzt.