Rechnen mit natürlichen Zahlen
Lehrplan – Zahlen und Operationen
In diesem Kapitel lernst du, wie man ganze Zahlen sicher addiert und subtrahiert.
Du erfährst, wie Plus und Minuswerte auf dem Zahlenstrahl wirken und wie man Beträge miteinander vergleicht, um das richtige Vorzeichen zu bestimmen.
Wichtige Regeln wie „Subtraktion = Addition der Gegenzahl“ werden Schritt für Schritt erklärt und mit alltäglichen Situationen verbunden, etwa Temperaturänderungen, Höhenangaben oder Punktestände.
Alle Rechenwege werden anschaulich dargestellt und durch passende Beispiele unterstützt, damit du Plus und Minusrechnungen im erweiterten Zahlenraum sicher beherrschst.
Was wirst du in diesem Kapitel lernen?
- Ganze Zahlen korrekt addieren und subtrahieren
- Vorzeichenregeln sicher anwenden
- Rechenwege verständlich darstellen
- Modelle wie Zahlenstrahl oder Temperaturdarstellungen nutzen
- Alltagssituationen mit Plus und Minuswerten mathematisch beschreiben
1. Schriftliche Addition und Subtraktion
Bei der schriftlichen Addition und Subtraktion werden größere Zahlen übersichtlich untereinander geschrieben. Dabei ist es wichtig, dass Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern und so weiter stehen.
Die Rechnung beginnt immer bei der kleinsten Stelle. Falls nötig, wird ein Übertrag notiert oder bei der Subtraktion ausgeliehen.
Diese Verfahren ermöglichen sicheres und genaues Rechnen auch mit großen Zahlen.
Beispiel: Bei 7 846 + 3 579 werden zuerst die Einer, dann die Zehner, Hunderter und Tausender gerechnet.
Hinweis: Falsch angeordnete Stellen führen schnell zu Rechenfehlern.
2. Multiplikation und Division
Die Multiplikation fasst gleiche Additionen zusammen, die Division teilt eine Zahl in gleich große Teile. Beide Rechenarten stehen in engem Zusammenhang zueinander.
Beim Rechnen mit größeren Zahlen werden oft schriftliche Verfahren genutzt oder Zahlen geschickt zerlegt. Sichere Grundkenntnisse im Einmaleins sind dabei besonders wichtig.
Multiplikation und Division werden in vielen Alltagssituationen angewendet, zum Beispiel beim Verteilen oder Vervielfachen von Mengen.
Beispiel: 24 · 6 bedeutet, dass 6-mal 24 gerechnet wird.
144 : 6 = 24
Hinweis: Eine Division ist die Umkehraufgabe zur Multiplikation.
3. Punkt vor Strich und Klammern
Bei Rechenausdrücken mit mehreren Rechenarten gibt es feste Regeln für die Reihenfolge. Zuerst werden Rechnungen in Klammern ausgeführt.
Danach gilt die Regel „Punkt vor Strich“: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion gerechnet.
Diese Rechenregeln sorgen dafür, dass mathematische Ausdrücke eindeutig und richtig berechnet werden.
Beispiel: 2 + 3 · 4 = 14, weil zuerst 3 · 4 gerechnet wird.
(2 + 3) · 4 = 20
Hinweis: Klammern verändern die Reihenfolge der Rechnung.
4. Überschlagen und Ergebnisse überprüfen
Beim Überschlagen wird ein Ergebnis grob abgeschätzt, indem Zahlen gerundet werden. So kann man schnell prüfen, ob ein Rechenergebnis sinnvoll ist.
Das Überprüfen von Ergebnissen kann auch mit Umkehraufgaben oder einer zweiten Rechnung erfolgen. Dadurch lassen sich Fehler erkennen.
Diese Fähigkeiten sind wichtig, um Rechenergebnisse kritisch zu beurteilen.
Beispiel: 497 + 302 wird überschlagen zu etwa 500 + 300 = 800
Hinweis: Überschlagen liefert nur eine Näherung, kein genaues Ergebnis.
Beispielaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Beispiel 1
Berechne die folgende Summe.
−7 + 4
Lösung: Beträge vergleichen: 7 > 4 → Ergebnis negativ. 7 − 4 = 3 → −3
Beispiel 2
Berechne den folgenden Term und beachte dabei das Vorzeichen in der Klammer.
5 − (−2)
Lösung: Subtraktion einer negativen Zahl → Addition der Gegenzahl: 5 + 2 = 7
Übungsaufgaben
Versuche die Aufgaben zunächst selbst zu lösen.
Mit einem Klick kannst du dir die Lösung anzeigen lassen.
Übung M5-K2-U1
Berechne die folgende Summe.
−3 + 8
Lösung: 8 − 3 = 5
Kompetenz: Ganze Zahlen addieren
Diese Aufgabe fördert das sichere Addieren ganzer Zahlen im erweiterten Zahlenraum und stärkt das Verständnis für Rechenoperationen mit positiven und negativen Zahlen.
Übung M5-K2-U2
Berechne den folgenden Term.
6 + (−9)
Lösung: 9 − 6 = 3 → Ergebnis negativ: −3
Kompetenz: Vorzeichen beim Addieren beachten
Diese Aufgabe unterstützt das bewusste Beachten von Vorzeichen beim Addieren ganzer Zahlen und hilft, typische Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Übung M5-K2-U3
Berechne die Summe zweier negativer Zahlen.
−4 + (−5)
Lösung: Beträge addieren: 4 + 5 = 9 → negativ: −9
Kompetenz: Addieren zweier negativer Zahlen
Diese Aufgabe vertieft das Verständnis für das Addieren zweier negativer Zahlen und stärkt die Sicherheit im Umgang mit negativen Werten.
Übung M5-K2-U4
Berechne die folgende Differenz.
12 − 7
Lösung: 12 − 7 = 5
Kompetenz: Sichere Subtraktion natürlicher Zahlen
Diese Aufgabe festigt die sichere Subtraktion natürlicher Zahlen als Grundlage für weiterführende Rechenoperationen im Zahlenraum der ganzen Zahlen.
Übung M5-K2-U5
Berechne den folgenden Term.
−2 − 6
Lösung: −2 + (−6) = −8
Kompetenz: Subtraktion als Addition der Gegenzahl
Diese Aufgabe fördert das Verständnis der Subtraktion als Addition der Gegenzahl und unterstützt den flexiblen Umgang mit Rechenstrategien.
Übung M5-K2-U6
Berechne den Term und beachte das Minuszeichen vor der Klammer.
3 − (−4)
Lösung: 3 + 4 = 7
Kompetenz: Minus vor Klammer interpretieren
Diese Aufgabe stärkt die Fähigkeit, das Minuszeichen vor einer Klammer korrekt zu interpretieren und Vorzeichen systematisch anzuwenden.
Übung M5-K2-U7
Eine Temperatur sinkt von 5 °C auf −1 °C.
Um wie viele Grad ändert sich die Temperatur?
Lösung: Rechnung der Temperaturdifferenz: −1 − 5 = −6.
Die Temperatur sinkt also um 6 °C.
Antwort: Die Temperatur ändert sich um 6 °C (sie fällt um 6 °C).
Kompetenz: Ganze Zahlen in Sachsituationen anwenden
Diese Aufgabe unterstützt das Anwenden ganzer Zahlen in alltagsnahen Sachsituationen und fördert das mathematische Modellieren realer Veränderungen.
Übung M5-K2-U8
Ein Taucher befindet sich 4 m unter der Wasseroberfläche.
Er taucht weitere 7 m ab.
Wo befindet er sich jetzt?
Lösung: −4 + (−7) = −11 → 11 m unter Wasser
Kompetenz: Vorzeichen und Betrag vergleichen
Diese Aufgabe vertieft das Vergleichen ganzer Zahlen unter Berücksichtigung von Vorzeichen und Betrag und schult das Zahlverständnis.
Übung M5-K2-U9
Berechne den folgenden Term.
−10 + 6
Lösung: 10 − 6 = 4 → negativ: −4
Kompetenz: Abstände auf dem Zahlenstrahl bestimmen
Diese Aufgabe fördert das Bestimmen von Abständen zwischen Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Dabei wird das Verständnis für Differenzen und räumliche Darstellungen von Zahlen gestärkt.
Übung M5-K2-U10
Bestimme den Abstand zwischen den Zahlen −5 und 3.
Lösung: Abstand = |3 − (−5)| = 3 + 5 = 8
Kompetenz: Abstände bestimmen
Diese Aufgabe unterstützt das Bestimmen von Abständen zwischen Zahlen und fördert das Verständnis von Differenzen im Zahlenraum.
Übung M5-K2-U11
Berechne den folgenden Term und beachte die Rolle der Null.
0 − (−9)
Lösung: 0 + 9 = 9
Kompetenz: Rechnen mit der Null
Diese Aufgabe stärkt das sichere Rechnen mit der Null im erweiterten Zahlenraum und verdeutlicht ihre besondere Rolle bei Rechenoperationen.
Übung M5-K2-U12
Berechne den Term, indem du die Subtraktion als Addition der Gegenzahl auffasst.
−8 − (−3)
Lösung: −8 + 3 = −5
Kompetenz: Subtraktion als Addition der Gegenzahl anwenden
Diese Aufgabe vertieft das Anwenden der Subtraktion als Addition der Gegenzahl und fördert einen strukturierten und flexiblen Rechenweg.
Schwierigkeitsgrad: leicht / mittel / anspruchsvoll (gemischt)
Typische Fehler in diesem Kapitel:
- Vorzeichen beim Addieren übersehen
- Subtraktion nicht in Addition der Gegenzahl umwandeln
- Beträge falsch vergleichen (z. B. glauben, −9 sei größer als −2)
- Klammern ignorieren
- Plus und Minus in Sachkontexten verwechseln